矩阵的分类以及性质
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实矩阵
常见的几种实矩阵有: 实对称矩阵、实反对称矩阵、厄米特矩阵、反厄米特矩阵、正交矩阵、对角矩阵、酉矩阵、正规矩阵
实对称矩阵
定义
若
A
A
A为对称矩阵、则：
A
=
A
T
\begin{aligned} A = A^{T} \end{aligned}
A=AT 这里左边为矩阵本身，右边为矩阵的转置
性质
对称矩阵必然有
n
n
n个实特征向量，并两两正交
实反对称矩阵
定义
若
A
A
A为对称矩阵,则：
A
=
−
A
T
\begin{aligned} A = -A^{T} \end{aligned}
A=−AT
厄米特矩阵
定义
若
A
A
A为厄米特矩阵，则
A
=
A
H
\begin{aligned} A = A^H \end{aligned}
A=AH 右边是矩阵的转置共轭矩阵
反厄米特矩阵
定义
若
A
A
A为反厄米特矩阵，则
A
=
−
A
H
\begin{aligned} A = -A^H \end{aligned}
A=−AH
正交矩阵
定义
若
A
A
A为正交矩阵,则
A
∗
A
T
=
λ
E
\begin{aligned} A * A^{T} = \lambda E \end{aligned}
A∗AT=λE 这里右边为单位矩阵乘一个常数
对角矩阵
定义
若
A
A
A为对角矩阵，则矩阵仅仅在对角线上对值非零
性质
对角矩阵一定是对称矩阵，对角矩阵的特征值即为对角线上的元素
酉矩阵
定义
若
A
A
A为酉矩阵，则
A
A
H
=
A
H
A
=
E
\begin{aligned} AA^H = A^HA = E \end{aligned}
AAH=AHA=E
正规矩阵
定义
若
A
A
A为正规矩阵，则
A
A
H
=
A
H
A
\begin{aligned} AA^H = A^HA \end{aligned}
AAH=AHA 实对称矩阵、实反对称矩阵、厄米特矩阵、反厄米特矩阵、正交矩阵、对角矩阵、酉矩阵都是正规矩阵，但正规矩阵远不止这些
矩阵的相似
定义
若满足
A
=
B
−
1
C
B
\begin{aligned} A = B^{-1}CB \end{aligned}
A=B−1CB 则AC相似
性质
若两个矩阵相似，则他们的特征值相同